Questão 80 – Prova do Estado – (OFA) 2009/2010

80. Para encerrar um jogo, a professora Clara sugeriu que cada um dos participantes desse um único abraço em cada um dos outros participantes do jogo. Sabendo-se que foram dados 153 abraços, no total, é correto dizer que o número de participantes do jogo era igual a

(A) 23.       (B) 21.          (C) 19.        (D) 18.          (E) 15.

Trata-se de uma PA de Razão r = -1 , pois há   n  participantes no jogo e o 1º participante dá [n-1] abraços (abraça a todos, exceto ele mesmo) , já o 2º dá [n-2] abraços (abraça a todos, exceto ele mesmo e o 1º participante) e assim sucessivamente até chegar no “n”º participante que abraça [n-n] participantes, ou seja, 0 (zero).  

Vamos montar a tebela de abraços:

1º = (n-1) abraços

2º = (n-2) abraços

3º = (n-3) abraços 

                …

nº = 0   ou (n-n) abraços

Em uma PA,   temos que:

A2= A1+r

A3= A2+r = (A1+r) +r = A1+ 2r, logo   An= A1 + (n-1)r

e temos também que a soma dos n primeiros termos de uma PA é :

Sn = (A1 + An) . n /2

A soma dos termos dessa PA é 153, que é o numero total de abraços, então:

153 = (A1 + An) . n/2                      A1 = n-1            e        An = 0          logo:

153 = (n-1 + 0) . n/2

306 = (n-1).n

306 = n² -n             ou

n² – n – 306  = 0

Temos aí uma equação de segundo grau onde iremos usar a raiz de valor positivo , ou seja, n=18  alternativa  D.